Vozņesenskis dzimis Maskavā 1933.gada 12.maijā. 14 gadu vecumā viņš nosūtījis vēstuli ar saviem dzejoļiem rakstniekam un dzejniekam Borsiam Pasternakam, vēlāk starp viņiem izveidojusies draudzība, kas būtiski ietekmējusi Vozņesenska likteni.

1957.gadā Vozņesenskis beidza Maskavas Arhitektūras institūtu. Viņa pirmais dzeju krājumiņš "Mozaīka" iznāca Vladimirā 1960.gadā, drīz vien tam sekoja Maskavā izdotā "Parabola". Hruščova laikos ar savu atklāto un drosmīgo dzeju Vozņesenskis izpelnījās varas struktūru nelabvēlību, viņam draudēja izsūtījums. 1963.gadā kādā radošo darbinieku pasākumā Kremlī Hruščovs dzejniekam paziņoja: "Savāciet savu pasi un vācieties prom!"

Tomēr Vozņesenska dzejas turpināja iespiest, un to metiens sasniedza 200 000 eksemplāru.

Pirmajām grāmatām sešdesmitajos un septiņdesmitajos gados sekoja krājumi "Trīsstūrainais bumbieris", "Antipasaules", "Ahileja sirds", "Skaņas ēna", "Skatiens", "Atbrīvo putnu!" un citi.

Ar Vozņesenska tekstiem veidota komponista Alekseja Ribņikova pazīstamā rokopera "Junona un Avoss", tie izmatoti arī daudzās populārās dziesmās, tostarp Raimonda Paula darbu krievu versijās, piemēram, "Miljoni sārtu rožu".

Kā izteikusies pazīstamā Maskavas Tagankas teātra aktrise Alla Demidova, šis slavenais teātris "faktiski aizsācies ar Vozņesenska darbiem" - 1964.gadā tur iestudētas viņa "Antipasaules". Uzvedums, kurā savu dzeju lasījis gan pats autors, gan aktieri, pieredzējis vairāk nekā tūkstoš izrādes.

Pieminot Vozņesenski, aktrise citējusi Žana Kokto vārdus: "Dzejnieks nemirst, pēc viņa paliek viņa balss, viņa ritms, viņa intonācija."

Vozņesenskis bija Krievijas PEN centra viceprezidents, ar viņa pūliņiem Peredelkinā izveidots Borisa Pasternaka muzejs. Par krājumu "Vitrāžu meistars" viņam 1978.gadā piešķirta PSRS Valsts prēmija.